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E的负x的平方的积分

e的负x平方的Taylor展开式是f(x)=x+x^2/2+x^3/6+..x^n/n!+. = ∑0到∞x^n/n! 逐项积分.是∑1到∞x^n/n!

这个积分的推导及结果在高等数学(同济大学 第五版)上册第五章定积分/如下图 如果是从负无穷到正无穷积分结果为:

应该是根号π(见图片)

-e^(-x)+c 就是不定积分的基本公式

e^(-x^2)的原函数不是初等函数,所以这个函数的不定积分是求不出来的. 上面那位求的是这个函数在[0,+∞)的广义积分,称为概率积分,是用二重积分求得的,他做的是对的.

设I=∫(0,+∞)e^(-x^2)dx4I^2=∫(-∞,+∞)∫(-∞,+∞)e^(-x^2-y^2)dxdy=∫(0,2π)dθ∫(0,+∞)re^(-r^2)dr=2π*(1/2)=πI=(√π)/2

-2Xe的负x平方

从0到正无穷大x*x*(e的负(x的平方)) =∫(x^2)*e^(-x^2)dx =(∫x*e(-x^2)dx^2)/2 =-(∫x d(e^(-x^2)))/2 =-x*e^(-x^2)/2+(∫e^(-x^2) dx)/2 =0+(∫e^(-x^2) dx)/2 令t=(∫e^(-x^2) dx)/2=(∫e^(-y^2) dy)/2 t*t=((∫e^(-x^2) dx)/2)*((∫e^(-y^2) dy)/2) =∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy/4 接下来换元令x=rcosθ,y=rsinθ 可得到积分的结果

原函数不是初等函数,只有特殊区间上的定积分才可以如图间接计算(先用变量代换x=(√2)t,之后再按图计算).

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