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多元函数在某点可微分是函数在该点各个偏导数存在...

多元函数在(a,b,c)点处存在全微分,则其所有偏导数在该点某邻域上连续是否正确?这句话是错误的!因为多元函数在(a,b,c)点处存在全微分是其所有偏导数在该点某邻域上连续的必要不充分条件.后面的那个疑问和前面的问题一样,即使不是x和y方向的偏导数,任意两个方向所构成的偏导数还是不一定连续!

逆命题不成立,反例是:f(x,y) = 0,当x是无理数;f(x,y)= x^2,当x是无理数.可以验证,f(x,y)在(0,0)点处可微分,但偏导数仅在(0,0)点以外的地方都不在,更不用说连续了.但是以下命题是成立的:多元函数在某点处可微分,则各个偏导数在该点存在.

充分条件.可微,必然有偏导数.有偏导数,仅仅表示函数沿x、y方向可微,并不表示沿其他方向也可微,函数不一定可微.二元函数可微的必要条件:若函数在某点可微,则该函数在该点对x和y的偏导数必存在.二元函数可微的充分条件:若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在且均在这点连续,则该函数在这点可微.

二元函数在一点的偏导数存在是该点连续的既非充分也非必要条件.二元函数在一点的可微是在该点连续的充分条件.

二元函数偏导数存在全微分存在的(必要不充分 )条件当偏导数连续时,全微分存在

连续也不能保证偏导存在.因为连续只说明当△x、△y都趋于零时,△z也趋于零.但不能保证当△x趋于零(△y=0,这是关于x的偏导)时,△z/△x极限存在(因为△z/△x是个0/0型不定式,极限未必是存在的).同理,也不能保证关于y的偏导存在.

函数z=f(x,y)在某点存在微分(即可微)可以得到函数在某点存在偏导数Fx、Fy.而函数在某点存在偏导数Fx、Fy则未必函数在该点可微.因此函数z=f(x,y)在某点存在偏导数Fx与Fy是它在该点存在微分的必要不充分条件.

二元函数在一点的偏导数存在是该点可微的既非充分也非必要条件.

可微性是最严格的条件 根据定义,若极限lim(ρ→0) (Δz - f'xΔx - f'yΔy)/ρ = 0,则函数才可微 二元函数可微分,则偏导数必存在,若偏导数不存在的话函数也必不可微 即 二元函数在一点处的两个偏导数存在是二元函数在这一点处可微"必要不充分"条件

不管是偏导数还是导数都是该点处的极限, 既然是极限就是取不到给定点 ,但是定义域里面是包含所讨论的点的.函数f(x,y)在(0,0)处的偏导的定义为lim(x->0,y->0)(f(x,0)-f(0,0))/(x-0) ,若在(0,0)无定义,则偏导就没有意义了.

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